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Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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<popup name="Tipp">Verschieben den "x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>"-Schieberegler in der oberen Darstellung und lies die gesuchten Werte in der Formel zum Differenzenquotienten ab.</popup>
 
<popup name="Tipp">Verschieben den "x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub>"-Schieberegler in der oberen Darstellung und lies die gesuchten Werte in der Formel zum Differenzenquotienten ab.</popup>

Version vom 27. November 2018, 19:22 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der mittleren und lokalen Änderungsrate.

  • In Aufgabe 1 kannst du die Berechnung der mittlere Änderungsrate anhand von Rechenbeispielen ohne Sachzusammenhang wiederholen. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 2 übst du die Berechnung der mittlere Änderungsrate im Sachkontext. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bei der Berechnung mittleren Änderungsraten bist, kannst du Aufgabe 1 und 2 auch überspringen.
  • In Aufgabe 3 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. Dies ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 4 musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.
  • Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 5. Dies ist eine Förderaufgabe.
  • In Aufgabe 6 geht es um die geometrischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.

Viel Spaß beim Bearbeiten! :)


Inhaltsverzeichnis


Die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels

Bevor du mit den Aufgaben beginnst, sind hier schonmal die wichtigsten Begriffe dieses Kapitels in Merkkästchen erklärt. Wenn du dir während der Bearbeitung der einzelnen Aufgaben unsicher bist, kannst du sie dir immer wieder anschauen, um dich zu erinnern. Falls du schon sicher im Umgang mit den folgenden Begriffen bist, kannst du sie zu Anfang auch einfach überlesen und direkt mit den Aufgaben beginnen.


30px   Merke

Die mittlere Änderungsrate und wie man sie berechnet

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f in einem Intervall [x_0, x_1] gibt die durchschnittliche Veränderung der Funktionswerte von f in diesem Bereich an. Anders gesagt gibt die mittlere Änderungsrate die Steigung der Sekanten an, die die Punkte (x_0, f(x_0)) und (x_1, f(x_1))) verbindet.

Die mittlere Änderungsrate in einem Intervall [x_0, x_1] berechnet man so: \frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}.

Der Ausdruck \frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0} wird auch Differenzenquotient genannt.

30px   Merke

Die lokale Änderungsrate und wie man sie berechnet

Die lokale Änderungsrate einer Funktion f gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle x an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion f. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung f'(x) berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden.

Der Grenzwert von \frac{f(x+h)-f(x)} {h} für h gegen 0 heißt Differenzialquotient.

30px   Merke
Sekante: Eine Sekante ist eine Gerade zwischen zwei Punkten. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung und gibt die mittlere Änderungsrate zwischen diesen beiden Punkten an.
Sekante durch zwei Punkte eines Funktionsgraphen
30px   Merke

Tangente: Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Dort haben die Kurve und die Tangente dieselbe Steigung. Diese Steigung entspricht der Ableitung der Funktion in diesem Punkt.

Graph einer Funktion mit eingezeichneter Tangente an einem Punkt. Diese Abbildung zeigt, dass die Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen haben kann. Graph der Funktion Tangente


Berechnung der mittleren Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate


Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate der Funktionen f, g und h in dem angegebenen Intervall auf einem separaten Blatt Papier. Prüfe im Anschluss die von dir errechneten Werte, indem du sie in die dafür vorgesehenen Kästchen unter der Aufgabe eingibst.


a)f(x)=4x+2 im Intervall [2,5]

b)g(x)=x^2 im Intervall [2,7]

c)h(x)=x^3-2 im Intervall [-2,1]


Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext

Stift.gif   Aufgabe 2: Berechnung der mittleren Änderungsrate im Sachkontext


Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Diwerspng.PNG




Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. Du kannst diese zunächst am besten auf einem separaten Blatt Papier lösen und sie anschließend mit den gegebenen Lösungen vergleichen.

a) Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?


b) Der aktuelle Vorstand arbeitet seit 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollte im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren davor (also von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016). Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?



Unterscheidung der Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate

a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht.


b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente.

Änderungsraten im Sachzusammenhang

Stift.gif   Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang


Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt:

s(t)=10t-t^2 für t\in [0;5]

a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.

c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn?


Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 5: Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate


Die Funktion f(x) = -1/2*(x-1)^2+3 ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Bild des Funktion f

In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte der Funktion f aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt P = (2|2,5) mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.

Tabelle zu x-, y-Werten und dem Differenzenquotienten zu der gegebenen Funktion f

a) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.

b) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.

c) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt P = (2|2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Löse dazu den Lückentext. Dabei beziehen sich die Lücken immer auf \frac {f(2)-f(x)} {2-x}.

für x gegen 2.

Geometrischer Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 6: Geometrischer Zusammenhang von mittleren und lokalen Änderungsrate (Forder-Aufgabe)


Im folgenden Applet ist die Funktion f(x) = 0,2x^2+0,5 dargestellt. Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des x1-x0-Schiebereglers verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.

a) Was gibt die Variable ms an?

b) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.

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