Benutzer:Tina WWU3

Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur durchsnittlichen oder lokalen Änderungsrate zieht. Tipp: Durschnittliche Änderungsrate anzeigen Tipp: Durschnittliche Änderungsrate verstecken Die Formel $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [$x_1$;$x_2$] an. Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P($x_0$|$f(x_0)$) und Q($x_1$|$f(x_1)$). 300px Tipp: Lokale Änderungsrate anzeigen Tipp: Lokale Änderungsrate verstecken Die Formel $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle. b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe und Formeln gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente. Lösung anzeigen Lösung verstecken mittlere Änderungsrate momentane Änderungsrate Sekante Tangente $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ die Steigung zwischen zwei Punkten die Steigung im Punkt P die durchschnittliche Steigung die Ableitung an der Stelle x0 die Durchschnittsgeschwindigkeit die Momentangeschwindigkeit

Aufgabe 3: Änderungsraten im Sachzusammenhang Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt: $s(t)=10t-t^2$ für $t\in [0;5]$ a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Zur Berechnung der momentanen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden. b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für $t=6$ keinen Sinn? Lösung a) anzeigen Lösung a) verstecken Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn $s(3)=10*3-3^2=30-9=21$. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt s(5)=10*5-5^2=50-25=25. Lösung b) anzeigen Lösung b) verstecken Die momentane Änderungsrate $s'(t)=10-2t$ entspricht der Geschwindigkeit. $s'(3)=10-(2 dot 3)=10-6=4$ und $s'(5)=10-2*5=10-10=0$. Lösung c) anzeigen Lösung c) verstecken Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich $t\in [0;5]$ gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.