Benutzer:Tina WWU3

30px   Merke Die lokale Änderungsrate Die lokale Änderungsrate einer Funktion $f$ gibt die Steigung in einem Punkt an. Anders gesagt, gibt die lokale Änderungsrate die Steigung der Tangente an der Stelle $x$ an. Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion $f$. Somit lässt sich die lokale Änderungsrate mit Hilfe der Ablteitung $f'(x)$ berechnen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der lokalen Änderungsrate ist, den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden. Der Grenzwert $\overrightarrow{h \rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differenzialquotient. .

Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 3: Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate a) Ordne die Karten jeweils richtig zu, indem ihr sie entweder zur mittleren oder lokalen Änderungsrate zieht. Tipp: Mittlere Änderungsrate anzeigen Tipp: Mittlere Änderungsrate verstecken Die Formel $\frac{f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$ stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate von f über dem Intervall [$x_1$;$x_2$] an. Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch die zwei Punkte P($x_0$|$f(x_0)$) und Q($x_1$|$f(x_1)$). 300px Tipp: Lokale Änderungsrate anzeigen Tipp: Lokale Änderungsrate verstecken Die Formel → $\frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differenzialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle. b) Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur mittleren und lokalen Änderungsrate mit den Karten aus Teilaufgabe a) an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber, zum Beispiel Sekante und Tangente. Lösung anzeigen Lösung verstecken mittlere Änderungsrate lokale Änderungsrate Sekante Tangente Differenzenquotient Differenzialquotient die Steigung zwischen zwei Punkten die Steigung im Punkt P die durchschnittliche Steigung die Ableitung an der Stelle x0 die Durchschnittsgeschwindigkeit die Momentangeschwindigkeit

Änderungsraten im Sachzusammenhang

Aufgabe 4: Änderungsraten im Sachzusammenhang Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Metern) gilt: $s(t)=10t-t^2$ für $t\in [0;5]$ a) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. Tipp anzeigen Tipp verstecken Gesucht wird die momentane/lokale Geschwindigkeit. Tipp anzeigen Tipp verstecken Zur Berechnung der momentanen/lokalen Geschwindigkeit musst du die Ableitung der Funktion bilden. b) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. c) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für $t=6$ keinen Sinn? Lösung a) anzeigen Lösung a) verstecken Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt, denn $s(3)=10*3-3^2=30-9=21$. Nach 5 Sekunden hat er 25 Meter zurückgelegt, denn es gilt $s(5)=10*5-5^2=50-25=25$. Lösung b) anzeigen Lösung b) verstecken Die lokale Änderungsrate $s'(t)=10-2t$ entspricht der Geschwindigkeit. $s'(3)=10-2*3=10-6=4$ und $s'(5)=10-2*5=10-10=0$. Lösung c) anzeigen Lösung c) verstecken Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da die gegebene Funktion nur für den Definitionsbereich $t\in [0;5]$ gilt. In der Realität bedeutet es, dass Tim nach 5 Sekunden schon stehen geblieben ist.