Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

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Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

Aufgabe 1a) Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen. $1. f(x)=4x+2$ im Intervall $[2,5]$ $2. f(x)=x^2$ im Intervall $[2,7]$ $3. f(x)=x^3-2$ im Intervall $[-2,1]$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Die durchschnittliche Änderungsrate in einem Intervall [x0, x1] berechnet man so: $\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$. Tipp 2 (zu 3.) anzeigen Tipp 2 (zu 3.) verstecken Achte auf die Vorzeichen! Lösung anzeigen Lösung verstecken 1. 4 2. 2 3. 3 b) Dein Sportverein feiert dieses Jahr achtjähriges Bestehen. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht: {

Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.

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Die Formel $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [$x_1$;$x_2$] an.

Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch zwei Punkte.

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Die Formel $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt $Q(x_0+h|f(x_0+h))$ auf den Punkt P $P(x_0|f(x_0))$ zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in $x_0$.

Aufgabe 2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.

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mittlere Änderungsrate	momentane Änderungsrate
Sekante	Tangente
$\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$	$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$
die Steigung zwischen zwei Punkten	die Steigung im Punkt P
die durchschnittliche Steigung	die Ableitung an der Stelle x0
die Durchschnittsgeschwindigkeit	die Momentangeschwindigkeit

Aufgabe 2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt: $s(t)=10t-t^2$ für $t\in [0;5]$ (i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. (ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt. (iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für $t=6$ keinen Sinn?

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Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit

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Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.

Lösung (ii) anzeigen

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Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.

Lösung (iii) anzeigen

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Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.

Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate a) Sieh dir zunächst die Formeln im unteren Bereich der Darstellung an. Durch Verschieben des h-Knopfs verändern sich die Werte. Probiere dies aus und fülle den folgenden Lückentext aus. b)