Symmetrie von ganzrationalen Funktionen

Aufgabe 1 Wahr oder falsch? Lösung anzeigen Lösung verstecken Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge $D<sub>f</sub>$ ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich: $f(-x)=f(x)$ gilt. Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge $D<sub>f</sub>$ ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x im Definitionsbereich: $f(-x)=-f(x)$ gilt. Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Funktionsterm nur gerade Exponenten enthält. Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Funktionsterm nur ungerade Exponenten enthält. Man bezeichnet eine Funktion als gerade Funktion, wenn ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

Aufgabe 2 a) Tipp anzeigen Tipp verstecken Multipliziert die Gleichungen erst aus, bevor ihr entscheidet. Tipp anzeigen Tipp verstecken Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn die Gleichung nur gerade Exponenten und das absolute Glied ($a\cdot x^0$) enthält. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Gleichung nur ungerade Exponenten enthält. Tipp anzeigen Tipp verstecken Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x gilt: $f(-x)=f(x)$. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x gilt: $f(-x)=-f(x)$ Lösung anzeigen Lösung verstecken Punktsymmetrie: $f(x)=x^3$,$f(x)=-x^3$,$f(x)=x^5$,$f(x)=x^5+x^3+x$,$f(x)=(x-3)*x*(x+3)$,$f(x)=(x^2-9)*x$ Achsensymmetrie: $f(x)=x^2$,$f(x)=-x^2$,$f(x)=x^4$,$f(x)=x^4-x^2$,$f(x)=(x^2-9)*(x^2-16)$ Keine Symmetrie: $f(x)=x^2+x$,$f(x)=2x-3$,$f(x)=x^2+x+2$,$f(x)=x^4-3x^3+x$,$f(x)=(x-1)*x*(x^2-4)$,$f(x)=-x^5-2x^3+x+2$ b) Greift euch drei Beispiele heraus und schreibt eine ausführliche Begründung für eure Einordnung. Lösung anzeigen Lösung verstecken Bsp.: $f(x)=x^5+x^3+x$, die Gleichung hat die Exponenten 5,3,1. Diese sind allesamt ungerade, also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Aufgabe 3 Für welche t ist der Graph der Funktion f symmetrisch zum Ursprung oder zur y-Achse? a)$f(x)=x^t+x^2$ b)$f(x)=x^3-x+t$ c)$f(x)=(x+t)^2-4x$ d)$f(x)=(x-t)(x+3)$ e)$f(x)=tx^4+x^3-4x$ f)$f(x)=x^3+2x^t$ Tipp anzeigen Tipp verstecken a),f)Es gibt mehr als eine Lösung. c)Klammer ausmultiplizieren. d)Beachte die dritte binomische Formel. Lösung anzeigen Lösung verstecken a)Für alle geraden t, also …-4,-2,0,2,4,6,... --> Achsensymmetrie b)Für t=0 --> Punktsymmetrie c)Für t=2 --> Achsensymmetrie d)Für t=3 --> Achsensymmetrie e)Für kein t --> keine Symmetrie f)Für alle ungeraden t, also …-3,-1,1,3,5,... --> Punktsymmetrie